De originele, bovenstaande tekening stond binnen een uurtje op papier. Hij is eenvoudig van opzet, gewoon een paar lijnen en wat cirkels…
Maar het kostte me daarna nog aardig wat tijd om de onderliggende structuur ervan verder te ontrafelen….
En die structuur, dus de meetkundige figuur, had ik echt nodig vóórdat ik de handgemaakte tekening kon gaan omzetten naar zijn digitale ( met computer getekende) versie. Om daarna het PDF bestand van de kerstkaart naar de drukkerij te kunnen sturen.
Icoon kerststal ‘Verbinding’
Wat je ziet, zijn in elkaar gevlochten cirkels en lijnen. Dat is juist.
Maar eigenlijk ontdekte ik later pas dat het meerdere figuren zijn, die samen één geheel vormen.
Hoe de wonderlijke ontrafeling van de structuur in zijn werk ging,
kunt u zien in de volgende delen 1 tot en met 5:
Deel 1, kernsplitsing:
Twee cirkels die elkaar gedeeltelijk overlappen
Er zijn twee verschillende maten te zien. Getal 1 is hier de basis- referentiemaat, dit is het uitgangspunt.
De tweede maat is een ‘nog onbekende‘ waarde, hier aangegeven als ‘φ’ ( spreek uit als ‘fi’).
Verdubbeling: ’twee cirkels die elkaar gedeeltelijk overlappen’
Er zijn drie maten ‘1’ te vinden.
De totale breedte ( dit is een belangrijke maat) bedraagt: 4 φ -1
Vier cirkels op een rij.
Hier herken je vast weer de twee kernen van het tweede plaatje. Ze staan in het midden. Deze cirkels overlappen elkaar voor de helft. En je ziet ( links én rechts ) ook de twee kernen van het derde plaatje. Die zijn namelijk nét iets verder uit elkaar geschoven. Samen vormen ze dus één geheel, met alleen die typische maten ‘1’ en ‘φ‘ .
Dit vormt de basis van de meetkundige structuur.
Deel 2, de hoofdstructuur uitwerken
Op zoek naar rekenkundige oplossing drukken we alle maten uit in ‘φ‘.
Gezien de cirkel een straal 1 heeft,
is ‘φ’ dus groter dan 1 en kleiner dan 2.
De sleutel binnen deze icoon is te vinden in de oplossing voor de nu ‘nog onbekende’ waarde ‘φ‘.
Maat a volgt uit: de twee grotere cirkels
Deze vorm heet de Vesica Piscis.
Zie hierboven “Vier cirkels op een rij”, de totale breedte is 4 φ -1
Dus hier geldt 3a = 4 φ -1
Ofwel a = ( 4 φ -1 ) / 3
Maat b volgt uit: de drie kleinere cirkels ‘1’
maat f = ( a – 1) /2 = 2b /3 = 2 ( φ -1) /3
Maten c en d volgen uit: de vier “kern” cirkels op een rij
Dit zijn de belangrijkste punten in de geometrie.
De horizontale verdeling is gelijk aan de maat c.
De verticale verdeling aan maat d.
Op de icoon zie je het rode raster plaatselijk als een X terugkomen.
en
Verticale maat d = 0,5 wortel(3) . a = 0,5 wortel(3) . ( 4 φ -1 ) / 3
Deel 3, de waarde van de ‘onbekende φ‘ bepalen
Belangrijk uitgangspunt is: oneindigheid
Het oneindigheids- symbool ( de witte liggende 8 ) moet naadloos kunnen doorlopen, dus van de cirkel links over de schuine lijn naar de cirkel rechts en over de andere lijn weer terug.
Want exact ter plaatse het blauwe punt P
zit de aansluiting tussen de twee witte cirkels en het rood-witte raster.
Aansluiting van buitenste witte ‘kern’ cirkels op het rode raster in de vier blauwe punten P
De groene rechthoekige driehoek zorgt voor de oplossing.
De vergelijking voor de lengte van de zijden van deze driehoek is
SP^2 = SQ^2 + PQ^2
met
SP = 1 straal van de eenheidscirkel
SQ = b = φ -1 horizontale maat
PQ = 0,5 d = 0,25 wortel(3) . ( 4 φ -1 ) / 3
Zie hieronder de benodigde vergelijkingen
Zie deze iteratieve berekening.
volgens mijn calculator
als bewijsstuk is het getal hierboven te zien
Eindresultaat
Omdat de waarde van φ bekend is, kunnen nu ook alle andere waarden van a tot en met g worden berekend. Zie hierboven, de handgeschreven berekening.
Te beginnen met
a = 1,82043
b = 0,6153 en f = 0,4102
c = 1,1153
d = 1,5765
e = ( 0,5 a / 2 c) d = 0,6433 poot kribbe verticaal
g = d + e = 2,2198
en dus is de totale breedte = 5,46130
De geometrische structuur kon met deze maten ( op schaal) digitaal worden getekend.
Deel 4, slotopmerking
Jammer voor degene ( mijzelf incluis) die hier had verwacht dat de oplossing van φ gelijk zou zijn aan het getal van Fibonacci ( gulden snedegetal) Fib = (wortel (5) + 1 ) / 2 = 1,618033.
Want dan zou deze ‘groene rechthoekige driehoek’ een “Driehoek van Kepler” zijn.
Zie uitleg Wikipedia: Driehoek van Kepler
Fib – 1 – Wortel(Fib) = 1,618 – 1 – 1,272
( Hoek 51,8 graden)
Bij ‘groene driehoek’, lengte zijden zijn (waarden ter vergelijking)
1- b – 0,5d = ( 1 – 0,615 – 0,788 ) /0,615 = 1,625 – 1 – 1,281
( Hoek 52,0 graden)
Ter troost, ‘met het blote oog’ is het verschil echt niet te onderscheiden.
Verhoudingsgewijs Fib / φ = 1,6180 / 1,6153 = 1,0016
Deel 5, toegift
Inspiratie voor ontwerp kerstkaart, icoon Anastasis
De icoon ‘Anastasis’ is de inspiratiebron voor het ontwerp
van de kerstkaart “Verbinding”.